Des théorèmes ergodiques décrivent le comportement d’un système dynamique en moyenne, en grande échelle. Un exemple classique est le théorème de Birkhoff sur la convergence de moyennes de Césaro. Les systèmes dynamiques peuvent venir de groupes ou de semigroupes compliqués, où on n’a pas toujours de formules explicites pour les moyennes. Je parlerai entre autres d’actions de semigroupes quantiques où on arrive à trouver de telles moyennes.
La théorie des noeuds est l'étude des plongements du cercle dans S^3. Comme souvent en topologie, elle se fait principalement à l'aide d'invariants; l'un des plus connu étant polynôme de Jones. On lui trouve un équivalent pour le plongements d'anneau dans S^3 : le crochet de Kauffman.
Mais que se passe-t-il quand on plonge dans une autre 3-variété que S^3 ? Le module skein est en quelque sorte une généralisation du crochet de Kauffman pour une variété orientée quelconque et fait un invariant solide de 3-variété. C'est également un objet très intéressant à étudier pour sa connexion avec la topologie quantique/les TQFTs ou avec la variété des caractères. L'exposé sera principalement axé sur la définition du module skein.
Le problème du transport optimal remonte à un mémoire de Monge en 1781 qui s'intéresse à la meilleure manière de déplacer des tas de sable. Depuis, le problème a été étudié par de nombreux mathématiciens et est devenu une théorie développée et appliquée. Le transport optimal quantique est un essai d'adapter cette théorie dans le paradigme des mathématiques quantiques, ou non commutatives. Il s'agit de remplacer les intégrales par des traces, les mesures par des matrices, etc. Je présenterai des approches possibles pour définir ce transport quantique, notamment une approche basée sur la géométrie Riemannienne.
Une recherche classique d'invariants en géométrie algébrique est de compter des courbes dans des variétés. Sous les bonnes hypothèses, comme des points de passage, il y en a un nombre fini non nul et sa constance est intéressante. Souvent, on est contraint de travailler sur C comme c'est un corps algébriquement clos. Une approche par la théorie motivique, qui permet des comptes signés, donne de nouveaux invariants plus généraux.
Dans ce séminaire, nous retracerons les résultats fondamentaux de la théorie des jeux différentiels, un outil classique utilisé pour modéliser les interactions stratégiques entre agents rationnels et non coopératifs. Nous introduirons le concept d'équilibre de Nash et décrirons comment la théorie des jeux à champ moyen apparaît naturellement lorsqu'on considère un système où le nombre de joueurs est très grand.
We present the asymptotic properties of a moment estimator for a multiplicative noise with Markovian regime switching, under the assumption that the errors are uncorrelated but not necessarily independent (i.e. weak ARHMC(0)). By relaxing the usual independence assumption on the innovation process, we substantially broaden the applicability of Markov–switching models. We derive sufficient conditions based on strong mixing and finite-moment requirements for the strong consistency and asymptotic normality of the proposed estimator in this framework. Particular attention is devoted to estimating the asymptotic covariance matrix, which enables valid inference. We then derive the asymptotic distribution of residual empirical autocovariances and autocorrelations. We deduce the asymptotic distribution of the Ljung-Box (or Box-Pierce) modified Portmanteau statistics for weak ARHMC models. We also introduce an original approach that first decodes the hidden trajectory of the Markov chain under the assumption that the noise has compact support and we then proceed to forecast the series over a fixed horizon. Finally, Monte Carlo experiments and an application to financial data are presented.