Les équations de Dirac non-linéaires ont été proposées, au milieu des années quarante, comme des modèles de particules chargées étendues interagissant avec leurs propres champs électro-magnétiques. Ils sont supposément plus simples que ceux issus d’une théorie des champs.

Les questions qui nous intéressent sont celles de l’existence et de la stabilité de solutions stationnaires. La première question est résolue depuis une quarantaine d’années par des méthodes de tirs (donc de type EDO) et a été revisitée et les réponses améliorées à plusieurs reprises (par des méthodes variationnelles ou de bifurcation). La question de la stabilité est encore ouverte et est une question redoutable même dans sa conception la plus faible de stabilité spectrale.

Dans ma présentation, j’introduirai rapidement la classe de modèles qui nous intéresse. Je ferai le lien avec les modèles non relativistes correspondants (des équations de Schrödinger non-linéaires). Pour cela je me concentrerai sur la question de la limite non relativiste. Ceci permet de construire des solutions stationnaires par bifurcation, ce qui nous met donc dans un régime faiblement relativiste. Mon objectif est de montrer comment les méthodes de bifurcation nous permettent de retrouver une partie des résultats de stabilité spectrale qui existent dans la limite non relativiste. Ma présentation est basée sur une série de travaux en collaboration avec Andrew Comech (Texas A&M).

Nous sommes intéressés dans le calcul de l'état fondamental d'un système moléculaire comprenant M noyaux décrits par leurs positions dans l'espace et leurs charges éléctriques. L'état fondamental est la solution d'un problème aux valeurs propres (possiblement non-linéaire), appelé équation de Shrödinger, -(1/2) \Delta u + Vu = Eu. Il est principalement calculé comme une combinaison linéaire sur une base bien choisie. Résoudre ce problème est en général très couteux, surtout quand ce doit être pour de nombreuses géométries, comme c'est le cas pour la dynamique moléculaire et l'optimisation en géométrie.

Pendant cette présentation, nous allons nous concentrer sur un problème jouet unidimensionnel, équivalent de l'équation de Schrödinger usuelle dans le cas unidimensionnel, pour lequel les solutions analytiques sont complètement décrites dans un article de Pham (2017). Nous proposons une nouvelle approche basée sur un interpolation entre quelques solutions choisies. Cette méthode d'interpolation repose lourdement sur la forme des solutions (mixtures) et sur la métrique de Wasserstein. Cependant, contrairement aux barycentres de Wasserstein, nous verrons que cette interpolation peut être calculée efficacement et devrait passer à des dimensions supérieures. Avant d'interpoler, nous utilisons un algorithme dit "glouton" pour choisir les solutions représentatives. Ensuite nous verrons comment calculer les paramètres optimaux pour représenter notre solution courante comme une interpolations des solutions sélectionnées.

Nous présenterons aussi quelques résultats numériques, ainsi que des indices sur comment passer en dimension supérieure. Le travail présenté résulte d’une collaboration avec G. Dusson, V. Ehrlacher et A. Lozinski.

L'homologie de factorisation, inspirée par les travaux de Beilinson-Drinfeld et développée par Lurie, Ayala-Francis et autres, est une théorie d'homologie généralisée pour certaines algèbres avec une multiplication commutative à homotopie cohérente près, comme par exemple les catégories monoïdales tressées. L'homologie de factorisation est une généralisation de l'homologie de Hochschild, mais ne prend pas forcément ses valeurs dans les complexes de chaînes, mais également dans les espaces ou les catégories. Dans mon exposé, j'expliquerai comment on peut calculer l'homologie de factorisation des surfaces en utilisant les résultats de Ben-Zvi-Brochier-Jordan, et je donnerai des applications de l'homologie de factorisation pour la construction des représentations « quantiques » des groupes de difféotopie et la théorie des algèbres d'échevaux (travail en commun avec A. Brochier, IMJ-PRG).

The Virtual Braid group on n strands, denoted as VB_n, naturally projects onto the Symmetric group S_n via two distinct group homomorphisms, π_P and π_K, giving rise to two subgroups named PVB_n and KVB_n, respectively. In a paper authored by Bartholdi, Enriquez, Etingof, and Rains, a cell complex Ω_n (referred to as the BEER space) is constructed, and it is claimed to be a classifying space for PVB_n, employing CAT(0) techniques. Unfortunately this last result is wrong and the CAT(0) property does not hold. Consequently, it cannot be used to prove the asphericity of the space. This begs the question: Is the BEER space still aspherical, and can its construction be generalized to broader groups, such as the Virtual Artin Groups?

In this presentation, we will introduce all the key elements of this narrative and outline a potential strategy for addressing these inquiries.

The theoretical advances on the properties of scoring rules over the past decades have broaden the use of scoring rules in probabilistic forecasting. In meteorological forecasting, statistical postprocessing techniques are essential to improve the forecasts made by deterministic physical models. Numerous state-of-the-art statistical postprocessing techniques are based on distributional regression evaluated with the Continuous Ranked Probability Score (CRPS). However, theoretical properties of such minimization of the CRPS have mostly considered the unconditional framework (i.e. without covariables) and infinite sample sizes. We circumvent these limitations and study the rate of convergence in terms of CRPS of distributional regression methods. We find the optimal minimax rate of convergence for a given class of distributions. Moreover, we show that the nearest neighbor method and the kernel method for distributional regression reach the optimal rate of convergence in dimension larger than 2 and in any dimension, respectively.

The most instructive way to study the physical implications of Einstein's theory of gravitation is to explore light propagation in relativistic spacetimes. This allows to study physical effects as light bending and the dragging of inertial frames by rotating masses. In this talk I will present how to perform image simulations in stationary axisymmetric vacuum spacetimes which is done by the tracing of photons. As a particular example of axisymmetric spacetimes I will show the Kerr solution, which is interpreted physically as a rotating black hole. One of the consequences of the dragging effect is that images in the vicinity of a black hole will be deformed, as we will see with the simulation of the image of ideal accretion disks.

Considérons un pentagone, c’est-à-dire 5 points ordonnés du plan; le pentagone n’est pas forcément convexe, ses côtés pouvant même s'intersecter. Si A, B, et C sont trois sommets consécutifs du pentagone, on construit un nouveau pentagone en remplaçant B par son symétrique par rapport à la droite (AC) et en laissant les quatre autres sommets fixes.

Cette opération de pliage change la forme globale du pentagone sans changer les longueurs des côtés. Répétons cette opération indéfiniment en choisissant aléatoirement, à chaque étape, le côté plié. Comment évolue la forme du pentagone au cours du temps ? C’est à ce type de problème que sera dédié cet exposé.